дифференциальное уравнение высших порядков решение
Главное меню:
Интересное
дифференциальное уравнение высших порядков решение, Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, 12 Дифференциальные уравнения высших порядков, Примеры дифференциальных уравнений с решениями, Дифференциальные уравнения высших порядков, Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие , Дифференциальные уравнения высших порядков., .
Лекция 12. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальное уравнение n – ого порядка в общем виде записывается так: . Дифференциальное уравнение n – ого порядка в виде, разрешенном относительно старшей производной, выглядит так: . Решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция , обращающая его в тождество. Общим решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция такая, что 1) при любом наборе констант эта функция является решением, 2) для любого набора начальных условий из области существования решения найдется набор констант , при котором функция удовлетворяет заданным начальным условиям, т.е. . Заметим, что общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка зависит ровно от n констант. Частным решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется какое-либо из решений, входящих в общее решение (при конкретном выборе констант). Общим интегралом дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция , сохраняющая свои значения на решениях дифференциального уравнения. Интегральной кривой называется график частного решения. Общее решение представляет собой совокупность интегральных кривых. Обычно рассматривается одна из трех задач: 1) Найти общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка, 2) Задача Коши – найти частное решение дифференциального уравнения n – ого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям, 3) Краевая задача – найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, одна часть которых задана в точке , а другая часть в точке. Теорема Коши (существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n – ого порядка ). Пусть функция и ее частные производные по переменным определены и непрерывны в некоторой области . Тогда для любой внутренней точки существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этим начальным условиям, т.е. (через любую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая). Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка . Область существования и единственности решения заполнена непересекающимися интегральными кривыми. Через любую точку проходит единственная интегральная кривая. Однако через «точку» проходит бесконечно много интегральных кривых, все они различаются значениями . Заметим, что в «точка» представляет собой прямую . Понижение порядка дифференциальных уравнений. Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. Причем однородные, линейные и Бернулли тоже сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-го порядка – проблема. Поэтому стараются понизить порядок дифференциального уравнения, если это возможно, чтобы свести его к известным типам уравнений первого порядка. Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядка зависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение. . Но это – очевидный случай. Рассмотрим менее очевидные случаи. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. 1) Уравнение не содержит явно y , его вид или . Здесь применяется подстановка - вводится новая функция старой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка . Пример. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . - общее решение. Найдем частное решение. . Частное решение . 2) Уравнение не содержит явно x , его вид или . Здесь применяется подстановка - вводится новая функция новой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка . Пример. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Либо - решение, либо , - общее решение. Найдем частное решение. , - частное решение. 2) Однородное уравнение относительно . Уравнение называется однородным относительно , если при замене уравнение не изменится. Здесь применяется подстановка . Пример. Найти общее решение уравнения - решение. , - общее решение. 3) Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций. Пример. . Запишем уравнение в виде Существуют еще несколько случаев, которые встречаются реже и здесь не рассматриваются. , Линейные неоднородные уравнения высших порядков Я буду придерживаться тех же обозначений, что и на уроке о неоднородных ДУ 2-го порядка ., Уравнение сводится к уравнению первого порядка . Пример. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Либо - решение, либо , - общее решение..
Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:, при . Решение > > >, Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24 Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ., Подставив найденные выше значения произвольных постоянных С 1, С 2, С 3 в общее решение (52), получаем искомое частное решение заданного уравнения (49): Ответ: . 2. Уравнение вида (53), Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Определение. Решение удовлетворяет начальным условиям, если. Определение., , .